Polyhedra masani: elemene symmetry ma le eria

Geometry e matagofie ona, e le pei algebra, lea e le o manino i taimi uma le mafuaaga ma le mea e te mafaufau i ai, tuuina atu ai se mea faitino. Lenei lalolagi matagofie o le tino eseese teuteu le polyhedra masani.

faamatalaga lautele i polyhedra masani

E tusa ai ma le toatele, polyhedrons masani, po o le ua valaauina i latou solids Platonic, umia meatotino tulaga ese. Faatasi ai ma nei mea e fesootai tele hypotheses faasaienisi. Ina ua amata ona e suesue i le faamatalaga geometric o le tino, e te iloa e toetoe lava o te le iloa se mea e uiga i se mataupu e pei o le polyhedra masani. e le o manaia pea le tuuina atu o nei mea i le aoga, tele te le manatua le mea ua valaauina i latou. I le manatu o le toatele o tagata e na o se pusa. E leai se tasi o le tino geometry e le maua le atoatoa e pei o polyhedrons masani. igoa uma o nei tino geometric amata mai anamua Eleni. Latou ma sui o le aofai o foliga: o le tetrahedron - fa itu, hexahedron - Allen, octahedron - octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Uma o nei tino geometric nofoia se nofoaga taua i le manatu o le Palato o le atulaulau. Fa oi latou o loo aofia elemene po o itutino: o le tetrahedron - o le afi, o le icosahedron - pusa vai - lalolagi, octahedron - ea. aofia Dodecahedron mea uma. sa manatu o ia i le autu, o se faailoga o le atulaulau.

O le generalization o le manatu faavae o le a polyhedron

Polyhedron o se tuufaatasiga gata o polygons e faapea:

• le itu taitasi o so o se polygons o loo i le taimi lava lea e tasi na o itu o se tasi o le isi polygon i le itu lava e tasi;
• mai le polygons outou taitoatasi e mafai ona savali atu i le isi e ala i le tufaina o tuaoi ai polygons.

Polygons tuufaatasia ai le polyhedron fai ma sui o lona foliga ma o latou itu - ribs. vertices polyhedra o vertices o polygons. Afai e malamalama i le polygon vaitaimi mafolafola polylines tapunia, e sau ai le tasi i le faamatalaga o le a polyhedron. I le tulaga pe afai e lenei vaitaimi le uiga o se vaega o le vaalele e faapea ua noatia e laina momomo, o le a malamalama i luga e aofia ai ni polygonal. ua taʻua Convex polyhedron le tino o loo taoto i le tasi itu o le vaalele, e sosoo ma ona foliga.

O se isi faamatalaga o le a polyhedron ma ona elemene

Polyhedron taʻua luga e aofia ai polygons, lea e faatapulaa ai le tino geometric. i latou:

• lē convex;
• convex (saʻo ma le sese).

polyhedron masani - o se polyhedron convex ma symmetry maximal. Elemene o polyhedra masani:

• Tetrahedron: 6 ribs 4 foliga 5 vertices;
• hexahedron (pusa) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

theorem a Euler

E faamautuina ai se sootaga i le va o le aofai o pito, vertices ma foliga o topologically tutusa i se lalolagi. Faaopoopoina le aofai o vertices ma foliga (B + D) e ese polyhedra masani ma faatusatusa i latou i le aofai o ribs, e mafai ona faatulaga se tasi tulafono: o le aofaiga o le tele o foliga e tutusa ma le aofaiga o vertices ma pito (P) siitia i le 2. E mafai ona maua se fua faatatau faigofie:

• B + D = P + 2.

O lenei fua faatatau e aloaia mo polyhedra convex uma.

faamatalaga autu

O le manatu faavae o le a polyhedron masani le mafai ona faamatalaina i le fuaiupu e tasi. E sili atu le taua ma le leotele. O se tino o le a aloaia o lea, e tatau ai fono a le tele o uiga o upu. O lea, o le a avea o se tino geometric a polyhedron masani pe a ausia tulaga nei:

• e convex;
• le lava le aofai o ribs converges i lona vertices taitoatasi;
• vaega uma o lona - polygons masani, e tutusa ma le tasi i le isi;
• angles dihedral uma e tutusa.

Meatotino a polyhedra masani

E 5 ituaiga eseese o polyhedra masani:

1. Pusa (hexahedron) - ei ai se feleti tulimanu luga o 90 °. O loo i ai se tulimanu 3-itu. angles fofoga aofaiga i le luga o le 270 °.
2. Tetrahedron - tulimanu luga mafolafola o - 60 °. O loo i ai se tulimanu 3-itu. angles fofoga aofaiga i le luga - 180 °.
3. Octahedron - tulimanu luga mafolafola o - 60 °. O loo i ai se tulimanu e fa itu. angles fofoga aofaiga i le luga - 240 °.
4. Dodecahedron - o se tulimanu luga mafolafola o le 108 °. O loo i ai se tulimanu 3-itu. angles fofoga aofaiga i le luga - 324 °.
5. Icosahedron - ei ai se tulimanu luga mafolafola o - 60 °. O loo i ai se laau e lima itu. angles fofoga aofaiga i le luga o le 300 °.

O le vaega o polyhedra masani

O le vaega pito i luga o le tino geometrical (S) ua fuafuaina e avea o se nofoaga polygon masani faatele i le aofai o vaega (G):

• S = (a: 2) X 2G ctg π / p.

O le tusi o se polyhedron masani

O lenei taua ua fuafuaina e faateleina ai le tele o se tafatolu masani o lona faavae o se polygon masani, o le aofai o foliga, ma lona maualuga o le tusia faataamilosaga o le lalolagi (r):

• V = 1: 3rS.

Voluma o polyhedra masani

E pei o so o se isi geometric mautu, polyhedra masani ai voluma eseese. O loo i lalo o faiga lea e mafai ona fuafua:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3;
• hexahedron (pusa): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elemene o polyhedra masani

Hexahedron ma octahedron e itulua tino geometric. I se isi faaupuga, e mafai ona latou o ese mai le tasi i le isi i le tulaga e faapea o le centroid o se tasi ua faia e pei o le pito i luga o le isi, ma le isi foi itu. Foi e itulua icosahedron ma dodecahedron. O ia lava na tetrahedron e itulua. E tusa ai ma le auala o mafai ona maua Euclid mai se dodecahedron hexahedron ala i le fausiaina "taualuga" i luga o le mata o le pusa. O le vertices o le tetrahedron ni 4 vertices o le pusa, e taitoalua tuaoi i le tafatafa. Mai hexahedron (pusa) e mafai ona maua, ma isi polyhedra masani. E ui lava i le mea moni e faapea polygons masani o loo i ai lē mafaitaulia, polyhedra masani, ua na o le 5.

O le radii o polygons masani

Taitasi o nei tino geometric e fesootai lalolagi i concentric 3:

• faamatalaina e ui atu i le vertices;
• tusia e uiga i lona foliga o le tasi i le ogatotonu o ai;
• median uiga i pito uma i le ogatotonu.

Le faataamilosaga o le lalolagi ona faamatalaina e le fua faatatau nei ua fuafuaina:

• R = a: 2 x GS π / g x GS θ: 2.

Le faataamilosaga o le tusia lalolagi ua fuafuaina e faapea:

• R = a: 2 x ctg π / p x GS θ: 2,

lea θ - tulimanu dihedral lea i le va o vaega e tuaoi.

e mafai ona fuafuaina le faataamilosaga median o le lalolagi e faaaoga ai le fua faatatau nei:

• ρ = a cos π / p: 2 agasala π / h,

lea h = le tele naua o 4.6, 6,10, po o le 10. O le fua faatusatusa o le radii o le tusia faamatalaina ma symmetrically e tusa ai p ma q. Ua fuafuaina e faapea:

• R / r = GS π / p x GS π / q.

O le symmetry o polyhedra

O le symmetry o le polyhedra masani o aia autu i nei tino geometric. E malamalama o se gaoioiga o le tino i le avanoa, lea e tuua le numera lava lea e tasi o vertices, foliga ma le pito. I se isi faaupuga, i lalo o le uunaiga a symmetry suiga pito, vertex, po o foliga taofia lona tulaga muamua, po o ni taga e tosina i le tulaga i le fale o se isi ivi asoaso, o le isi vertices po o foliga.

o vaega masani o symmetry o le polyhedra masani i ituaiga uma o solids geometric. Iinei e faia i luga o le suiga iloagofie, lea e tuua le vaega o so o se i le tulaga muamua. O lea, pe a outou liliu le prism polygonal mafai ona e maua nisi symmetries. O so o se i latou e mafai ona sui e pei o le fua lea o le ata. Symmetry, o le oloa o se e oo lava i le tele o manatunatuga, e taʻua tuusao. Afai o le fua o se numera ese o manatunatuga, ona ua taʻua o ni manatu faaalia. O lea, auauai uma o loo siomia le laina sui symmetry saʻo. So o se ata lafoia polyhedron - o le symmetry inverse.

Ina ia malamalama atili le symmetry elemene o le polyhedra masani, e mafai ona ave i le faataitaiga a le tetrahedron. So o se laina o le a oo i se tasi o le vertices ma le ogatotonu o le foliga geometric, o le a tutupu, ma i le ogatotonu o le pito faafeagai i ai. Taitasi o le feauauai i le 120 ma le 240 ° i le laina patino i le symmetry tetrahedral faaautaunonofo. Talu ai 4 vertices ma foliga, ona tatou maua le aofaiga o symmetries tuusao valu. So o se o le laina ui atu i le ogatotonu o le pito ma le ogatotonu o le tino, e pasia e ala i le ogatotonu o le pito faafeagai. So o se feauauaʻii o le 180 °, valaauina se afa-ia liliu faataamilo i se symmetry saʻo. Talu ai ei ai taitoalua e tolu le tetrahedron o ribs, e maua e tolu laina o symmetry. Faavae i luga o le i luga, e mafai ona tatou faapea atu o le aofaiga atoa o symmetry tuusao, ma e aofia ai le suiga iloagofie, o le a oo atu i le sefulu ma le lua. e le oi ai isi symmetry tuusao tetrahedron, ae e 12 symmetry inverse. O le mea lea, na 24 faamatalaina symmetries tetrahedron. Mo le manino, e mafai ona tatou fausia se faataitaiga o le a tetrahedron masani e faia i le pepa malo ma ia mautinoa o le mea moni e na o le 24 symmetry le tino geometric.

Dodecahedron ma icosahedron - sili ona latalata atu i le eria tino. ua i ai le Icosahedron numera aupito tele o foliga, o le tulimanu dihedral ma le sili o mea uma e mafai ona mau pipii i le lalolagi tusia. le ua Dodecahedron faaletonu angular maualalo tulimanu mautu aupito tele i le vertex. E mafai ona faateleina e faatumu ai le lalolagi faatapulaaina.

faitauina o polyhedra

tagai vave polyhedra masani, lea tatou te mau faatasi uma i le olaga faatamaitiiti, maua le tele o manatu. Afai ei ai se seti o polygons, taitasi itu o lea ua faailoa mai i le na o itu o se tasi o le polyhedron, o le faailoagofieina o le e tatau ona tausisia vaega ma tulaga lua:

• taitasi polygon, e mafai ona e alu i se polygon ua i ai le faailoagofieina o le itu;
• e tatau ona i itu iloagofie le umi lava e tasi.

O se seti o polygons e ausia uma nei tulaga, ma ua taʻua o se e faitau vave polyhedron. o nei tino taitasi ei ai ni o latou. Mo se faataitaiga, o se pusa o lo oi ai 11 fasi.